2015年高一数学课文平面的基本性质教案

数学的学习课堂时间是很重要的，应该注意做好教案，更好的教学。下面一起来看一下学大的专家精心的为大家准备的关于2015年高一数学课文平面的基本性质教案的一些资料，帮助大家更好的做好高一数学的教学工作。

一、 问题情境

情境1:平静的水面、平坦的足球场、广阔的草原、平滑的桌面、黑板的表面.

情境2:棱柱的表面,圆柱、圆台的底面.

二、 数学建构

问题1　这些事物给我们一种怎样的印象?

(像这些桌面、平静的水面、镜面、黑板面等都给我们以平面的印象)

问题2　平面有什么特征?

(总结平面的基本特征:平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延展的)

问题3　我们可以用怎样的语言描述平面?

1. 平面的表示:

(1) 图形语言:

(图1)

(2) 符号语言:平面通常用希腊字母α, β, γ,…表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面α、平面AC.

问题3-1　直线可以看成是点的集合,那平面能否看成是点的集合?可以用怎样的数学语言描述点、线、面之间的关系?(可以借助集合中的符号表示)

数学符号

表示 文字语

言表达 图形语言表达 A∈l 点A在直线l上 A∉l 点A在直线l外 A∈α 点A在平面α内 A∉α 点A在平面α外 l⊂α 直线l在平面α内 l⊄α 直线l在平面α外 l∩m=A 直线l, m相交于点A α∩β=l 平面α、 β相交于直线l

2. 平面的基本性质:

问题4　如何刻画平面的“平”、“没有厚薄”、“无限延展”这些特征?

情境3:木工为了检查桌面是否平,常将一把直尺靠放在桌面上,看直尺与桌面之间是否有空隙.

问题4-1　如果一条直线上有两个点在平面内,那么这条直线与这个平面有怎样的位置关系?

公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

图形:　　　　　　　　　符号表示:

(图2)　⇒AB⊂α.

情境4:(1) 演示:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上,试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公共点呢?为什么?

(2) 将教室的门和门所在的墙面看成两个平面,当门开着时,他们的公共点的分布情况如何?

公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

图形:　　　　　　　　　符号表示:

(图3)　　⇒α∩β=l 且A∈l.

问题4-2　公理2对平面提出了什么样的要求?有何意义?

问题5　平面是不是存在呢,如何保证平面的存在?

情境5:(1) 两个合页和一把锁就可以将一扇门固定.

(2) 照相机支架只需三条腿就够了.

问题5-1　如何用数学语言描述上述事实?

公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.

(图4)

用符号表示:C∉直线AB⇒存在唯一的平面α,使得A∈α, B∈α, C∈α.

三、 数学运用

【例1】　下列对平面的描述语句:

① 平静的太平洋面就是一个平面;

② 8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚;

③ 四边形确定一个平面;

④ 平面可以看作空间的点的集合,它是一个无限集.

其中正确的是　④　(填序号).

解　① 错误.太平洋面只是给我们以平面的形象,而平面是抽象的,可无限延展的;

② 错误.平面是无大小,无厚薄之分的;

③ 错误.如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面;

④ 正确.平面是空间中点的集合,是无限集.

[题后反思]　要注意平面的以下特点:(1)平面是平的.(2)平面是没有厚度的.(3)平面是无限延展而没有边界的.(4)平面是由空间点、线组成的无限集合.(5)平面图形是空间图形的重要组成部分.

【例2】　用符号语言表示下列语句:

(1) 点B在平面β内,但在平面α外.

(2) 直线l经过平面β外一点A.

(3) 直线m既在平面α内,又在平面β内,即平面α和β相交于直线m.

解　(1) B∈β,且B∉α.

(2) A∉β,且A∈l.

(3) m⊂α, m⊂β,则α∩β=m.

变式　将下列符号语言转化为图形语言:

(1) A∉α, a⊂α　C　.

(2) α∩β=a, P∉α且P∉β　D　.

(3) a⊄α, a∩α=A　A　.

(4) α∩β=a, α∩γ=c, β∩γ=b, a∩b∩c=O　B　.

【例3】　(1) 一条直线经过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?

[规范板书]　解　这条直线和这个平面只有一个公共点.假设这条直线和这个平面有两个公共点.根据公理1可得这条直线上所有的点都在这个平面内,故这条直线过平面外的一点也在这个平面内,

(图5)

这与已知矛盾.所以这条直线与这个平面只有一个公共点.

(2) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M, N, E, F分别是棱CD, AB, DD1, AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D, A, Q三点共线.

[规范解答]　证明　∵ MN∩EF=Q,∴ Q∈直线MN, Q∈直线EF.

又∵ M∈直线CD, N∈直线AB, CD⊂平面ABCD, AB⊂平面ABCD,

∴ M, N∈平面ABCD, ∴ MN⊂平面ABCD. ∴ Q∈平面ABCD.

同理,可得EF⊂平面ADD1A1. ∴ Q∈平面ADD1A1.

又∵ 平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,

∴ Q∈直线AD,即D, A, Q三点共线.

[题后反思]　1. 公理1的作用有三:一是可以用来判定一条直线是否在平面内,即要判定直线在平面内,只需确定直线上两个点在平面内即可;二是可以用来判定点在平面内,即如果直线在平面内、点在直线上,则点在平面内;三是表明平面是“平的”.

2. 公理2的作用有二:一是判定两个平面相交,即如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面相交;二是判定点在直线上,即点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的交线上.

证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.

(图6)

【例4】　如图6,四面体ABCD中,E, G分别为BC, AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3,求证:EF, GH, BD交于一点.

[处理建议]　引导学生思考如何证明三线共点,之前是否见过类似的问题?

[规范解答]　证明　连结GE, HF. ∵ E, G分别为BC, AB中点, ∴ GE∥AC. 又∵ DF∶FC=2∶3, DH∶HA=2∶3, ∴ HF∥AC. ∴ GE∥HF,故G, E, F, H四点共面.

又∵ EF与GH不能平行,设EF∩GH=O,则O∈平面ABD, O∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD, ∴ EF, GH, BD交于一点.

[题后反思]　三线交于一点→点在线上→线为两平面的交线.

四、 课堂练习

1. 用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”:　A∈l, l⊄α　.

2. 下列叙述中,正确的是(D).

A. ∵ P∈α, Q∈α, ∴ PQ∈α

B. ∵ P∈α, Q∈β,∴ α∩β=PQ

C. ∵ AB⊂α, C∈AB, D∈AB, ∴ CD∈α

D. ∵ AB⊂α, AB⊂β,∴ α∩β=AB

3. 四条线段顺次首尾相接,所得的图形一定是平面图形吗?

解析　空间四边形.

五、 课堂小结

1. 平面的概念及其表示方法.

2. 文字语言、图形语言以及符号语言的转化.

3. 平面的性质的三个公理及其作用.

通过上面的学大的专家精心的为大家准备的关于2015年高一数学课文平面的基本性质教案的一些资料，教师们借鉴一下，做好教案和课堂教学。